Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
3 x-y & =1 2 y-5 z & =-11 z-t & =-1 x+y+z+t & =10

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas :
O objetivo é determinar a solução e classificar o sistema (se é determinado, indeterminado ou impossível). Usaremos o método de substituição.

Passo 2

Isolamos y na primeira equação e t na terceira:
Da primeira equação
3x - y = 1
segue que
y = 3x - 1
Da terceira equação
z - t = -1
segue que
t = z + 1

Passo 3

Substituímos y = 3x - 1 na segunda equação
2y - 5z = -11
obtendo
2(3x - 1) - 5z = -11 Longrightarrow 6x - 2 - 5z = -11 Longrightarrow 6x - 5z = -9

Passo 4

Substituímos y = 3x - 1 e t = z + 1 na quarta equação
x + y + z + t = 10
ficando
x + (3x - 1) + z + (z + 1) = 10 Longrightarrow 4x + 2z = 10 Longrightarrow 2x + z = 5 Longrightarrow z = 5 - 2x

Passo 5

Agora substituímos z = 5 - 2x na relação 6x - 5z = -9:
6x - 5(5 - 2x) = -9 Longrightarrow 6x - 25 + 10x = -9 Longrightarrow 16x = 16 Longrightarrow x = 1

Passo 6

Com x = 1, encontramos
z = 5 - 2cdot1 = 3, y = 3cdot1 - 1 = 2, t = 3 + 1 = 4

Passo 7

Como obtivemos exatamente um conjunto l(x,y,z,tr)=(1,2,3,4), o sistema é compatível determinado (tem solução única).

Resposta

A solução é
(x,y,z,t) = (1,2,3,4),
e o sistema é compatível determinado.

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