Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(a) V é fechado em relação à soma acima definida.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
;V=f:RtoR
e a operação soma
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
para todo xinR.
Precisamos mostrar que, se f e g estão em V, então f+g também está em V; ou seja, que V é fechado sob essa soma.

Passo 2

Sejam f,gin V. Por definição de V, temos
f:RtoR, g:RtoR
Isso significa que, para todo xinR, f(x)inR e g(x)inR. Agora definimos
(f+g):RtoR por (f+g)(x)=f(x)+g(x)
Mas como soma de dois reais é real, ou seja, f(x)+g(x)inR, concluímos que f+g é de fato uma função de R em R. Logo f+gin V.

Resposta

V é fechado em relação à soma.

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