(Provão - MEC - 2001)
O número de soluções do sistema de equações
c x+y-z=1 2 x+2 y-2 z=2 5 x+5 y-5 z=7
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de três equações com três variáveis: x , y e z . Nossa missão é descobrir quantas soluções esse sistema possui. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e suas soluções. Precisamos verificar se as equações são independentes ou se uma delas pode ser obtida a partir das outras, o que nos ajudará a determinar o número de soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o sistema:
x + y - z = 1 2x + 2y - 2z = 2 5x + 5y - 5z = 7
Perceba que a segunda equação é exatamente duas vezes a primeira:
2(x + y - z) = 2(1) Rightarrow 2x + 2y - 2z = 2
Isso significa que a segunda equação não adiciona nenhuma informação nova ao sistema; ela é dependente da primeira.

Passo 3

Agora, vejamos a terceira equação:
5x + 5y - 5z = 7
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
x + y - z = 75
Comparando com a primeira equação x + y - z = 1 , vemos que:
1 neq 75
Isso indica que há um conflito entre as equações, ou seja, não há nenhum conjunto de valores x , y , z que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Quando temos um sistema onde as equações se contradizem, isso significa que o sistema é inconsistente. Em outras palavras, não existe nenhuma solução que resolva todas as equações ao mesmo tempo.

Resposta

A resposta correta é a alternativa (A) 0, ou seja, o sistema não possui nenhuma solução.

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