Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
3 x-y & =1 2 y-5 z & =-11 0x & =-t-10

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas
Queremos classificar (incompatível, única solução ou infinitas soluções) segundo (t] e, quando houver solução, encontrá-la. Vamos usar a teoria de postos (Rouché–Capelli) e eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e calculamos os postos de e de :
A observação é que (duas linhas não-nulas) sempre.

Passo 3

Para compatibilidade precisamos . O posto de será
  • se a terceira linha não for nula em ambos os lados, isto é, se ,
  • se .
    Portanto:

Passo 4

Caso , o posto de é enquanto , logo e o sistema é incompatível (não tem solução).

Passo 5

Se , a terceira equação fica e desaparece, sobrando só duas equações em três incógnitas. Assim , o que dá infinitas soluções com um grau de liberdade. Escolhemos
como parâmetro livre.

Passo 6

Resolvemos as duas equações restantes em função de lambda:
  1. De 2y - 5z = -11 segue
2y = -11 + 5lambda Longrightarrow y = -11 + 5lambda2
  1. De 3x - y = 1 segue
3x = 1 + y = 1 + -11 + 5lambda2 = 2 + (-11+5lambda)2 = -9 + 5lambda2,
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x = -9 + 5lambda6

Resposta

Para t neq -10: o sistema é incompatível (sem solução).
Para t = -10: há infinitas soluções, dadas por
x = dfrac5lambda - 96, y = dfrac5lambda - 112, z = lambda, lambdainR

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