Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
r3 x-y+z=0 x+y-2 z=0 5 x-3 y+4 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares e quer que eu te ajude a resolver e classificar ele. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas elas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
3x - y + z = 0 x + y - 2z = 0 5x - 3y + 4z = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de x, y e z que resolvem todas essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação, que consiste em combinar as equações para eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vou escolher eliminar o [y).
Primeiro, pego a primeira equação e a segunda equação:
Somando a equação (1) com a equação (2) para eliminar o (y]:

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (4) para expressar z em termos de x:
4x - z = 0 z = 4x (5)

Passo 5

Com a relação z = 4x, vamos substituir esse valor na equação (2):
x + y - 2(4x) = 0 x + y - 8x = 0 -7x + y = 0 y = 7x (6)

Passo 6

Agora que temos y = 7x e z = 4x, vamos substituir esses valores na terceira equação do sistema original:
5x - 3y + 4z = 0 5x - 3(7x) + 4(4x) = 0 5x - 21x + 16x = 0 (5 - 21 + 16)x = 0 0x = 0
Isso significa que a terceira equação é satisfeita para qualquer valor de x, desde que y e z estejam de acordo com as relações que encontramos.

Passo 7

Vamos analisar o que encontramos:
y = 7x z = 4x
Isso indica que existem infinitas soluções para o sistema, dependendo do valor que x assumir. O sistema é compatível e dependente, ou seja, tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções dadas por:
x = t, y = 7t, z = 4t onde t é um número real qualquer éú

Exercícios relacionados