Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares e quer que eu te ajude a resolver e classificar ele. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas elas ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
3x - y + z = 0 x + y - 2z = 0 5x - 3y + 4z = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de x, y e z que resolvem todas essas equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação, que consiste em combinar as equações para eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vou escolher eliminar o [y).
Primeiro, pego a primeira equação e a segunda equação:
Somando a equação (1) com a equação (2) para eliminar o (y]:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação (4) para expressar z em termos de x:
4x - z = 0 z = 4x (5)
Passo 5
Com a relação z = 4x, vamos substituir esse valor na equação (2):
x + y - 2(4x) = 0 x + y - 8x = 0 -7x + y = 0 y = 7x (6)
Passo 6
Agora que temos y = 7x e z = 4x, vamos substituir esses valores na terceira equação do sistema original:
Isso significa que a terceira equação é satisfeita para qualquer valor de x, desde que y e z estejam de acordo com as relações que encontramos.
Passo 7
Vamos analisar o que encontramos:
y = 7x z = 4x
Isso indica que existem infinitas soluções para o sistema, dependendo do valor que x assumir. O sistema é compatível e dependente, ou seja, tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções dadas por:
x = t, y = 7t, z = 4t onde t é um número real qualquer éú