Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{aligned} 3 x-y+z & =0 \\\ x+y-2 z & =0 \\\\ 5 x-3 y+4 z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar (isto é, verificar se o sistema é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e resolver o sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas
\left\{\begin{aligned} 3x - y + z &= 0,\\\ x + y - 2z &= 0,\\\\ 5x - 3y + 4z &= 0. \end{aligned}\right.
O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares homogêneos: sabemos que todo sistema homogêneo é sempre compatível e que o número de graus de liberdade é dado por
\dim(\text{Solução}) = n - \operatorname{rank}(A),çã
onde n=3 é o número de incógnitas. Para resolver, faremos eliminação/substituição simples.

Passo 2

Da segunda equação temos
x + y - 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2z - x.

Passo 3

Substituímos y = 2z - x na primeira equação:
3x - (2z - x) + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - 2z + x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 4x.

Passo 4

Usando z = 4x em y = 2z - x obtemos
y = 2(4x) - x = 8x - x = 7x.

Passo 5

Como a única relação entre (x,y,z) é dada por
(x,y,z) = \bigl(x,\,7x,\,4x\bigr) = x\,(1,7,4),
temos um parâmetro livre x\in\mathbb{R}. O espaço de soluções é de dimensão 1, ou seja,
\operatorname{rank}(A)=2<3
e o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e sua solução geral é
(x,y,z) = t\,(1,7,4),\quad t\in\mathbb{R}.

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