Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: \left\{\begin{aligned} a+2 b & =0 \\\\ 3 a-b & =0 \\\\ 5 a+3 b & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ 3a - b = 0,\\\\ 5a + 3b = 0. \end{cases}
Vamos usar o método de substituição para encontrar possíveis soluções e depois aplicar o Teorema de Rouché–Frobenius (posto das matrizes) para classificar o sistema.
Passo 2
Da primeira equação isolamos a:
a + 2b = 0\;\Longrightarrow\;a = -2b.
Substituindo em 3a - b = 0 temos
3(-2b) - b = 0\;\Longrightarrow\;-6b - b = 0\;\Longrightarrow\;-7b = 0\;\Longrightarrow\;b = 0,
e então a = -2\cdot 0 = 0.
Passo 3
Com a = 0 e b = 0, verificamos a terceira equação:
5a + 3b = 5\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0,
que coincide com o termo independente zero. Logo essas soluções satisfazem toda a terceira equação.
As duas primeiras colunas são linearmente independentes, então \mathrm{posto}(A)=2. Como o vetor independente é \mathbf{0}, a matriz aumentada (A|\mathbf{0}) também tem posto 2. Pelo Teorema de Rouché–Frobenius, como \mathrm{posto}(A)=\mathrm{posto}(A|\mathbf{0})=2 e o número de incógnitas é 2, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.