Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{aligned} a+2 b & =0 \\\\ 3 a-b & =0 \\\\ 5 a+3 b & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ 3a - b = 0,\\\\ 5a + 3b = 0. \end{cases}
Vamos usar o método de substituição para encontrar possíveis soluções e depois aplicar o Teorema de Rouché–Frobenius (posto das matrizes) para classificar o sistema.

Passo 2

Da primeira equação isolamos a:
a + 2b = 0\;\Longrightarrow\;a = -2b.
Substituindo em 3a - b = 0 temos
3(-2b) - b = 0\;\Longrightarrow\;-6b - b = 0\;\Longrightarrow\;-7b = 0\;\Longrightarrow\;b = 0,
e então a = -2\cdot 0 = 0.

Passo 3

Com a = 0 e b = 0, verificamos a terceira equação:
5a + 3b = 5\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0,
que coincide com o termo independente zero. Logo essas soluções satisfazem toda a terceira equação.

Passo 4

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & -1\\\\ 5 & 3 \end{pmatrix}.
As duas primeiras colunas são linearmente independentes, então
\mathrm{posto}(A)=2. Como o vetor independente é \mathbf{0}, a matriz aumentada (A|\mathbf{0}) também tem posto 2. Pelo Teorema de Rouché–Frobenius, como
\mathrm{posto}(A)=\mathrm{posto}(A|\mathbf{0})=2 e o número de incógnitas é 2, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

Resposta

Sistema possível e determinado.
(a,b) = (0,0).

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