Questão 2 (1,5 pontos). Escreva uma equação do plano \pi nos casos a seguir:
[Equação geral do plano] \pi passa pelos pontos A(3,1,-1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor \overrightarrow{C D}, sendo C(1,2,1) e D(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos A(3,1,-1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor \overrightarrow{CD}, onde C(1,2,1) e D(0,1,0). Para encontrar essa equação, vamos usar que um plano paralelo a dois vetores diretores possui como vetor normal o produto vetorial desses vetores, e depois aplicaremos a forma ponto–normal do plano.

Passo 2

Primeiro identificamos dois vetores diretores do plano:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-3,\;0-1,\;1-(-1)) = (-2,-1,2)
\overrightarrow{CD} = D - C = (0-1,\;1-2,\;0-1) = (-1,-1,-1)

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & -1 & 2 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (3,\;-4,\;1).

Passo 4

Usamos o vetor normal \mathbf{n}=(3,-4,1) e o ponto A(3,1,-1) na forma ponto–normal:
3(x-3) - 4(y-1) + 1(z+1) = 0.
Expandindo e simplificando, obtemos
3x - 9 - 4y + 4 + z + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - 4y + z - 4 = 0.

Resposta

A equação do plano \pi é
3x - 4y + z - 4 = 0.

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