Questão 5 ( 1,0 ponto). Determine o valor de A para que as retas r e s sejam concorrentes e ache o ponto de interseção, sendo: r: \frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{A} es :\left\{\begin{array}{l}x=-1+3 t \\\ y=-5+2 t \\\ z=t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para que as retas r e s sejam concorrentes (ou seja, se intersectem) e, nesse caso, determinar o valor de A e o ponto de interseção. O conteúdo aqui é interseção de retas no espaço tridimensional, usando formas paramétricas e igualando coordenadas.

Passo 2

Escrevemos as duas retas em forma paramétrica. Para r, definimos um parâmetro \lambda tal que
\frac{x}{2} \;=\;\frac{y}{-3}\;=\;\frac{z}{A}\;=\;\lambda
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x = 2\lambda,\quad y = -3\lambda,\quad z = A\lambda.
A reta s já está em forma paramétrica com parâmetro t:
x = -1 + 3t,\quad y = -5 + 2t,\quad z = t.

Passo 3

Para haver interseção, existem \lambda e t que igualam as coordenadas x e y. Assim,
2\lambda = -1 + 3t,
-3\lambda = -5 + 2t.
Resolvendo esse sistema: da primeira equação t = \tfrac{2\lambda + 1}{3}. Substituindo na segunda,
-3\lambda = -5 + 2\biggl(\frac{2\lambda+1}{3}\biggr) \;\Longrightarrow\;-9\lambda = -15 + 4\lambda + 2 \;\Longrightarrow\;-13\lambda = -13 \;\Longrightarrow\;\lambda = 1.
Com \lambda=1, da primeira equação vem t = \tfrac{2\cdot1+1}{3} = 1.

Passo 4

Agora usamos a igualdade na coordenada z:
A\lambda = t \;\Longrightarrow\;A\cdot1 = 1 \;\Longrightarrow\;A = 1.

Passo 5

Com \lambda=1 (e A=1), o ponto de interseção em r é
(x,y,z) = (2\lambda,\, -3\lambda,\, A\lambda) = (2,-3,1).
Verifique em s com t=1:
(-1+3\cdot1,\,-5+2\cdot1,\,1) = (2,-3,1),
confirmando a interseção.

Resposta

A = 1 e o ponto de interseção é (2,\,-3,\,1).

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