Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (sobre R ):
lx-2 y+3 z=0 x+4 y-z=0 2 x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar (isto é, verificar se o sistema é determinado, indeterminado ou impossível) e resolver o sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas sobre R:
x - 2y + 3z = 0, x + 4y - z = 0, 2x - y + z = 0
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e análise de posto para classificação.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos uma relação só em y e z:
(x+4y-z) - (x -2y+3z) = 0 - 0 Longrightarrow 6y - 4z = 0 Longrightarrow 3y - 2z = 0

Passo 3

Agora eliminamos x usando a primeira equação: subtraímos duas vezes a primeira equação da terceira:
(2x - y+z) - 2,(x -2y+3z) = 0 - 0 Longrightarrow 2x - y + z -2x +4y -6z = 0 Longrightarrow 3y -5z = 0

Passo 4

Temos o sistema em
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo , logo .

Passo 5

Com y=0 e z=0, voltamos à primeira equação para achar x:
x -2cdot0 +3cdot0 = 0 Longrightarrow x = 0

Resposta

O sistema é determinado (posto igual ao número de incógnitas) e sua única solução é
(x,y,z) = (0,0,0)

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