Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (sobre R ):
lx-y+z=0 2 x+y+z=1 2 y+z=3

Passo 1

O enunciado pede para classificar (se o sistema é consistente/determinado, indeterminado ou impossível) e resolver o sistema linear sobre R:
x - y + z = 0, 2x + y + z = 1, 2y + z = 3
O conteúdo envolvido é eliminação gaussiana (operações elementares, posto da matriz) e substituição regressiva.

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada e aplicar a primeira operação de eliminação:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 3 ]
Fazendo R2 R2 - 2R1, obtemos
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 & 3 ]

Passo 3

Agora eliminamos o elemento abaixo de 3 na coluna de y:
aplicamos R3 R3 - tfrac23R2 e chega-se a
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & 3 & -1 & 1 0 & 0 & tfrac53 & tfrac73 ]

Passo 4

A matriz de coeficientes ficou com posto 3 e a matriz aumentada também tem posto 3 (não há linha do tipo 0=,algo não nuloã). Logo o sistema é consistente e determinado: há exatamente uma solução.

Passo 5

Da terceira equação triangular temos
tfrac53,z = tfrac73
Logo
z = tfrac75

Passo 6

Da segunda equação triangular
3y - z = 1
substituindo z = tfrac75,
3y - tfrac75 = 1 Longrightarrow y = tfrac45

Passo 7

Por fim, da primeira equação
x - y + z = 0
vem
x = y - z = tfrac45 - tfrac75 = -tfrac35

Resposta

O sistema é consistente e determinado (posto igual a 3), e sua solução única é
(x,y,z) = l(-tfrac35,,tfrac45,,tfrac75r)

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