Para quais valores de a o conjunto (1, a, 2),(0,1, a),(-a, 2,1) é base de R^3?

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de a os vetores
(1,a,2), (0,1,a) e (-a,2,1) formam uma base de R^3.
Como um conjunto de três vetores em R^3 é base exatamente quando é linearmente independente, vamos montar a matriz cujas linhas são esses vetores e exigir que o seu determinante seja não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz
M = 1 & a & 2 0 & 1 & a -,a & 2 & 1
e usamos a condição de base
det(M)neq 0

Passo 3

Calculamos det(M) expandindo pela primeira linha:
det(M) =1cdotdet1 & a [4pt] 2 & 1 - acdotdet0 & a [4pt] -a & 1 +2cdotdet0 & 1 [4pt] -a & 2
Agora cada menor:
det1 & a 2 & 1=1cdot1 - acdot2 = 1-2a,
det0 & a -a & 1=0cdot1 - acdot(-a) = a^2,
det0 & 1 -a & 2=0cdot2 - 1cdot(-a) = a ]

Passo 4

Substituindo esses valores em det(M), obtemos
det(M) = 1cdot(1-2a) - acdot a^2 + 2cdot a = 1 -2a -a^3 +2a = 1 - a^3
Para formar base, precisamos de
1 - a^3 neq 0 Long<=ftrightarrow a^3 neq 1 Long<=ftrightarrow a neq 1

Resposta

O conjunto (1,a,2),(0,1,a),(-a,2,1) é base de R^3 se, e somente se,
a neq 1.

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