Qual é a dimensão do R-espaço vetorial das soluções do sistema
S=l 5 x+y+2 z-3 t=0 6 x+y-3 z+2 t=0 3 x+y+12 z-t=0 ?
Exiba uma base de tal espaço.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em R^4
5x + y + 2z - 3t = 0, 6x + y - 3z + 2t = 0, 3x + y +12z - t = 0,
e pede a dimensão do espaço das soluções e uma base. Vamos usar eliminação de Gauss e o Teorema da Dimensão-Nulidade para sistemas homogêneos.

Passo 2

Subtraímos a primeira equação das segunda e terceira para eliminar y:
(2)-(1): (6-5)x + (1-1)y +(-3-2)z +(2+3)t = 0 ;Longrightarrow; x -5z +5t = 0
(3)-(1): (3-5)x + (1-1)y +(12-2)z +(-1+3)t = 0 ;Longrightarrow; -2x +10z +2t = 0

Passo 3

Das equações obtidas:
x -5z +5t = 0 Longrightarrow x = 5z -5t,
-2x +10z +2t = 0 Longrightarrow x = 5z + t

Passo 4

Igualando as duas expressões para x:
5z -5t = 5z + t Longrightarrow -6t = 0 Longrightarrow t = 0
Logo x = 5z. Substituindo em (1):
5(5z) + y + 2z - 3cdot0 = 0 Longrightarrow 25z + 2z + y = 0 Longrightarrow y = -27z

Passo 5

A solução geral é
(x,y,z,t) = z,(5,,-27,,1,,0),
com um parâmetro livre z. Portanto
dim(ker A) = 1 e uma base é (5,-27,1,0) é

Resposta

Dimensão =1.
Uma base é (5,-27,1,0).

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