Classifique e resolva o sistema a seguir:
c5 x-3 y-7 z=-5 4 x-y-z=2 -2 x+4 y+8 z=10

Passo 1

O enunciado pede para classificar (se é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível) e resolver o sistema linear de três equações e três incógnitas. O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação de Gauss (triangularização da matriz aumentada) e, em seguida, substituição regressiva para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e vamos zerar o primeiro coeficiente de x nas equações 2 e 3 usando a primeira equação como pivô:
[ccc|c 5 & -3 & -7 & -5 [6pt] 4 & -1 & -1 & 2 [6pt] -2 & 4 & 8 & 10 ]
Queremos fazer
(eq2) := (eq2) - tfrac45,(eq1), (eq3) := (eq3) + tfrac25,(eq1) ]

Passo 3

Aplicando as operações:
  • Para a equação 2:
4 - tfrac45cdot5 = 0, -1 - tfrac45,(-3)=tfrac75, -1 - tfrac45,(-7)=tfrac235, 2 - tfrac45,(-5)=6
Multiplicando por 5 para limpar denominadores:
7y + 23z = 30
  • Para a equação 3:
-2 + tfrac25cdot5 = 0, 4 + tfrac25,(-3)=tfrac145, 8 + tfrac25,(-7)=tfrac265, 10 + tfrac25,(-5)=8
Multiplicando por 5:
14y + 26z = 40

Passo 4

Agora o sistema equivalente é
5x - 3y - 7z = -5, 7y + 23z = 30, 14y + 26z = 40
O próximo passo é eliminar y da terceira equação usando a segunda.

Passo 5

Fazemos (eq(3)') := (eq(3)') - 2,(eq(2)'):
14y + 26z - 2(7y + 23z) = 40 - 2cdot30 ;Longrightarrow; -20z = -20 ;Longrightarrow; z = 1

Passo 6

Substituindo z=1 em 7y + 23z = 30:
7y + 23cdot1 = 30 ;Longrightarrow; 7y = 7 ;Longrightarrow; y = 1

Passo 7

Finalmente, substituímos y=1 e z=1 em 5x - 3y - 7z = -5:
5x - 3cdot1 - 7cdot1 = -5 ;Longrightarrow; 5x -10 = -5 ;Longrightarrow; 5x = 5 ;Longrightarrow; x = 1
Como encontramos exatamente uma solução, o sistema é possível e determinado.

Resposta

O sistema é possível e determinado, com única solução
(x,y,z) = (1,1,1)

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