Classifique e resolva os sistemas:
a) \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=0 \\\ x+2 y+4 z=0 \\\ x-14 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+3y-z=0,\\[4pt] x+2y+4z=0,\\[4pt] x-14z=0, \end{cases}
e pede que o sistema seja classificado (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e resolvido. As incógnitas são x,y,z. Não vamos resolver ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.]

Passo 2

Breve aula antes de começar a mexer: este é um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero). Para um sistema homogêneo em n incógnitas:
\text{sempre existe a solução trivial }(x,y,z)=(0,0,0).çã
Se o posto da matriz dos coeficientes (número de linhas independentes) for igual a n, então a solução trivial é a única (compatível determinado). Se o posto for menor que n, então há infinitas soluções (compatível indeterminado). Vamos aplicar eliminação (Gauss) para encontrar o posto e parametrizar as soluções. Explico cada operação enquanto faço.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (os zeros da coluna da direita eu os coloco para lembrar que é homogêneo):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -14 & 0 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação; as colunas correspondem aos coeficientes de x, y, z e a coluna à direita é o termo independente (aqui sempre 0).]

Passo 4

Para simplificar as contas, troco a linha 1 com a linha 2 para ter um pivô 1 no início:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -14 & 0 \end{array}\right].
Trocar linhas é uma operação elementar que não altera o conjunto de soluções.]

Passo 5

Elimino abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2 \leftarrow R_2-2R_1 e R_3 \leftarrow R_3-R_1.
Calculemos:
  • Para R_2-2R_1: [2-2\cdot1,\;3-2\cdot2,\;-1-2\cdot4]=[0,\,-1,\,-9].
  • Para R_3-R_1: [1-1,\;0-2,\;-14-4]=[0,\,-2,\,-18].
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -18 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora uso o pivô da segunda linha (que é -1 na coluna de y) para eliminar o elemento abaixo. Faço R_3 \leftarrow R_3-2R_2.
Calculemos: R_3-2R_2 = [0,\,-2-2(-1),\,-18-2(-9)]=[0,\,0,\,0].
Então a matriz reduzida fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação dos resultados: há duas linhas não nulas na matriz dos coeficientes, logo o posto é 2. Como o número de incógnitas é 3, temos posto < número de incógnitas, portanto o sistema homogêneo admite infinitas soluções (é compatível indeterminado). Mais precisamente, o espaço de soluções terá dimensão 3-2=1 (uma família unidimensional de soluções).

Passo 8

Agora faço a volta (substituição) para escrever as incógnitas em função de um parâmetro. As duas equações independentes obtidas pela redução são:
da primeira linha: \;x+2y+4z=0.
da segunda linha: \;-y-9z=0.
Da segunda equação temos
-y-9z=0\quad\Rightarrow\quad y=-9z.
Substituindo em x+2y+4z=0:
x+2(-9z)+4z=0 \quad\Rightarrow\quad x-18z+4z=0 \quad\Rightarrow\quad x-14z=0,
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x=14z.

Passo 9

Parametrizo com um parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro que representa z:
z=t,\qquad y=-9t,\qquad x=14t.
Assim a solução geral é
(x,y,z)=t\,(14,\,-9,\,1),\quad t\in\mathbb{R}.
O parâmetro t representa qualquer número real; cada valor de t dá uma solução do sistema. Note que t=0 dá a solução trivial e outros t dão soluções não triviais.

Resposta

Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
(x,y,z)=t\,(14,\,-9,\,1),\;t\in\mathbb{R}.

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