e pede que o sistema seja classificado (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e resolvido. As incógnitas são x,y,z. Não vamos resolver ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.]
Passo 2
Breve aula antes de começar a mexer: este é um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero). Para um sistema homogêneo em n incógnitas:
\text{sempre existe a solução trivial }(x,y,z)=(0,0,0).çã
Se o posto da matriz dos coeficientes (número de linhas independentes) for igual a n, então a solução trivial é a única (compatível determinado). Se o posto for menor que n, então há infinitas soluções (compatível indeterminado). Vamos aplicar eliminação (Gauss) para encontrar o posto e parametrizar as soluções. Explico cada operação enquanto faço.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (os zeros da coluna da direita eu os coloco para lembrar que é homogêneo):
Cada linha corresponde a uma equação; as colunas correspondem aos coeficientes de x, y, z e a coluna à direita é o termo independente (aqui sempre 0).]
Passo 4
Para simplificar as contas, troco a linha 1 com a linha 2 para ter um pivô 1 no início:
Interpretação dos resultados: há duas linhas não nulas na matriz dos coeficientes, logo o posto é 2. Como o número de incógnitas é 3, temos posto < número de incógnitas, portanto o sistema homogêneo admite infinitas soluções (é compatível indeterminado). Mais precisamente, o espaço de soluções terá dimensão 3-2=1 (uma família unidimensional de soluções).
Passo 8
Agora faço a volta (substituição) para escrever as incógnitas em função de um parâmetro. As duas equações independentes obtidas pela redução são:
da primeira linha: \;x+2y+4z=0.
da segunda linha: \;-y-9z=0.
Parametrizo com um parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro que representa z:
z=t,\qquad y=-9t,\qquad x=14t.
Assim a solução geral é
(x,y,z)=t\,(14,\,-9,\,1),\quad t\in\mathbb{R}.
O parâmetro t representa qualquer número real; cada valor de t dá uma solução do sistema. Note que t=0 dá a solução trivial e outros t dão soluções não triviais.
Resposta
Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções). (x,y,z)=t\,(14,\,-9,\,1),\;t\in\mathbb{R}.