Escalone e resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}-x+y-2 z=-9 \\\\ 2 x+y+z=6 \\\\ -2 x-2 y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que a gente o escalone (use operações entre linhas para obter uma forma triangular ou reduzida) e depois resolva (ache os valores de cada incógnita):
\begin{cases} - x + y - 2z = -9\\[4pt] 2x + y + z = 6\\[4pt] -2x -2y + z = 1 \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } -x + y - 2z = -9,\\\ &\text{Equação 2: } 2x + y + z = 6,\\\ &\text{Equação 3: } -2x -2y + z = 1. \end{aligned}çãçãçã
Perguntas: escalone o sistema e encontre os valores de \\ x, \\ y e \\ z.]

Passo 2

Vamos representar o sistema como matriz aumentada — isso facilita ver e aplicar operações entre linhas. A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -2 & -9\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 6\\[4pt] -2 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]
Explicação rápida sobre o que podemos fazer (operações elementares entre linhas):
  • Permutar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto solução do sistema e são a base do escalonamento.]

Passo 3

Escolha de pivô e simplificação inicial. É prático ter um pivô \,1 na primeira linha; então multiplico a primeira linha por -1:
Operação: R_1 \leftarrow -R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 9\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 6\\[4pt] -2 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]
Comentário: agora a primeira coluna tem pivô \,1 na primeira linha, o que facilita zerar os outros elementos da primeira coluna.]

Passo 4

Zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna. Usamos combinações com a linha 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando cada entrada:
\begin{aligned} &2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3,\\\ &1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3,\\\ &6 - 2\cdot 9 = 6 - 18 = -12. \end{aligned}
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Calculando:
\begin{aligned} &-2 + 2\cdot 1 = 0,\\\ &-2 + 2\cdot(-1) = -2 - 2 = -4,\\\ &1 + 2\cdot 2 = 1 + 4 = 5,\\\ &1 + 2\cdot 9 = 1 + 18 = 19. \end{aligned}
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -12\\[4pt] 0 & -4 & 5 & 19 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora trabalhamos a segunda coluna. Primeiro, normalizamos a segunda linha para ter pivô 1 na posição (2,2).
Operação: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_2. Calculando:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -4\\[4pt] 0 & -4 & 5 & 19 \end{array}\right]
Explicação: dividir uma linha por 3 é permitido e deixa o pivô igual a 1, o que facilita eliminar os outros elementos na coluna.]

Passo 6

Zerar os outros elementos na segunda coluna usando a nova R_2:
  • Para zerar o elemento -1 em R_1 (coluna 2): R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
    Cálculo de R_1 + R_2:
\begin{aligned} &1 + 0 = 1,\\\ &-1 + 1 = 0,\\\ &2 + (-1) = 1,\\\ &9 + (-4) = 5. \end{aligned}
  • Para zerar o elemento -4 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
    Cálculo de R_3 + 4R_2:
\begin{aligned} &0 + 4\cdot 0 = 0,\\\ &-4 + 4\cdot 1 = 0,\\\ &5 + 4\cdot(-1) = 5 - 4 = 1,\\\ &19 + 4\cdot(-4) = 19 - 16 = 3. \end{aligned}
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora já temos a forma escalonada superior; a terceira linha dá direto o valor de \,z. Mas para ficar ainda mais claro e terminar o processo, vamos eliminar os coeficientes acima do pivô da terceira coluna (ou seja, tornar a matriz na forma escalonada reduzida):
  • Pivô na linha 3 é 1 (já). Eliminar o 1 em (1,3): R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
    Cálculo: R_1 - R_3:
\begin{aligned} &1 - 0 = 1,\\\ &0 - 0 = 0,\\\ &1 - 1 = 0,\\\ &5 - 3 = 2. \end{aligned}
  • Eliminar o -1 em (2,3): R_2 \leftarrow R_2 + R_3.
    Cálculo: R_2 + R_3:
\begin{aligned} &0 + 0 = 0,\\\ &1 + 0 = 1,\\\ &-1 + 1 = 0,\\\ &-4 + 3 = -1. \end{aligned}
Matriz final (forma reduzida):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação final (substituição direta): cada linha agora corresponde a uma equação simples:
\begin{aligned} &x = 2,\\[4pt] &y = -1,\\[4pt] &z = 3. \end{aligned}
Comentário didático final: o processo que fizemos é o método de eliminação por operações entre linhas (eliminação de Gauss com redução). A ideia foi obter pivôs (preferencialmente iguais a 1) e usar esses pivôs para zerar os coeficientes na mesma coluna, da esquerda para a direita, até obter uma matriz triangular ou a forma reduzida. Depois lemos os valores diretamente. Você consegue reproduzir esses passos com outros sistemas: escolha pivô, normalize se for útil, zere abaixo (e acima se quiser a forma reduzida), e leia as soluções.]

Resposta

x=2
y=-1
z=3

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