Escalone e resolva os seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}-x+y-2 z=-9 \\\\ 2 x+y+z=6 \\\\ -2 x-2 y+z=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que a gente o escalone (use operações entre linhas para obter uma forma triangular ou reduzida) e depois resolva (ache os valores de cada incógnita):
\begin{cases} - x + y - 2z = -9\\[4pt] 2x + y + z = 6\\[4pt] -2x -2y + z = 1 \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } -x + y - 2z = -9,\\\ &\text{Equação 2: } 2x + y + z = 6,\\\ &\text{Equação 3: } -2x -2y + z = 1. \end{aligned}çãçãçã
Perguntas: escalone o sistema e encontre os valores de \\ x, \\ y e \\ z.]
Passo 2
Vamos representar o sistema como matriz aumentada — isso facilita ver e aplicar operações entre linhas. A matriz aumentada é:
Explicação rápida sobre o que podemos fazer (operações elementares entre linhas):
Permutar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
Somar a um linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto solução do sistema e são a base do escalonamento.]
Passo 3
Escolha de pivô e simplificação inicial. É prático ter um pivô \,1 na primeira linha; então multiplico a primeira linha por -1:
Operação: R_1 \leftarrow -R_1.
Resultado:
Agora trabalhamos a segunda coluna. Primeiro, normalizamos a segunda linha para ter pivô 1 na posição (2,2).
Operação: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_2. Calculando:
Agora já temos a forma escalonada superior; a terceira linha dá direto o valor de \,z. Mas para ficar ainda mais claro e terminar o processo, vamos eliminar os coeficientes acima do pivô da terceira coluna (ou seja, tornar a matriz na forma escalonada reduzida):
Pivô na linha 3 é 1 (já). Eliminar o 1 em (1,3): R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Cálculo: R_1 - R_3:
Comentário didático final: o processo que fizemos é o método de eliminação por operações entre linhas (eliminação de Gauss com redução). A ideia foi obter pivôs (preferencialmente iguais a 1) e usar esses pivôs para zerar os coeficientes na mesma coluna, da esquerda para a direita, até obter uma matriz triangular ou a forma reduzida. Depois lemos os valores diretamente. Você consegue reproduzir esses passos com outros sistemas: escolha pivô, normalize se for útil, zere abaixo (e acima se quiser a forma reduzida), e leia as soluções.]