Seja x^216+(y-1)^24=1. Descreva a cônica, identifique os elementos e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^216+(y-1)^24=1
Estamos diante de uma elipse deslocada no eixo y.

Passo 2

Comparando com a forma padrão
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1,
vence que o centro é (h,k)=(0,1). Aqui a^2=16 e b^2=4. Como a>b, o semi-eixo maior vale
a=4
e o semi-eixo menor vale
b=2

Passo 3

Os vértices ao longo do eixo maior (horizontal) são
(hpm a,;k)=(pm4,;1),
e os vértices ao longo do eixo menor (vertical) são
(h,;kpm b)=(0,;1pm2),
isto é, (0,3) e (0,-1).

Passo 4

Para achar os focos, usamos
c^2=a^2-b^2=16-4=12
logo
c=2raiz3
Os focos localizam-se em
(hpm c,;k)=(pm2raiz3,;1)
A excentricidade é
e=ca=2raiz34=raiz32

Passo 5

O gráfico é uma elipse centrada em (0,1), estendida horizontalmente até x=pm4 e verticalmente entre y=-1 e y=3. As diretrizes, retas verticais que satisfazem l|x-hr|=tfracae, são
x=pm8raiz3

Resposta

A cônica é uma elipse de centro em (0,1), semi-eixo maior a=4 (horizontal) e semi-eixo menor b=2 (vertical). Os vértices são (pm4,1) e (0,3),(0,-1), os focos são (pm2raiz3,1), a excentricidade é e=tfracraiz32 e as diretrizes são x=pm tfrac8raiz3.

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