Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Se T: V W é um operador linear não singular com dim W=dim V, então T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado diz: “Se Tcolon Vto W é um operador linear não singular e dim W=dim V, então T é um isomorfismo.”
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, operador linear, nulidade, posto e Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity).

Passo 2

“Operador linear não singular” significa que ker T=0, ou seja, T é injetiva. Em termos de nulidade,
dim(ker T)=0

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity) temos
dim V = dim(ker T) + dim(ImT)
Como dim(ker T)=0, segue
dim(ImT)=dim V

Passo 4

Sabemos também que ImTsubseteq W, logo
dim(ImT)<=dim W
Mas como dim W=dim V e dim(ImT)=dim V, obtemos
dim(ImT)=dim W
Isto implica ImT=W, ou seja, T é sobrejetiva.

Passo 5

Concluímos então que T é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva. Por ser linear e bijetiva, T é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

Verdadeiro (V)

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