Classifique as seguintes afirmações abaixo como V (verdadeiras) ou F (falsa):
Se
é um operador linear não singular com
, então
é um isomorfismo.
Se
Passo 1
O enunciado diz: “Se
é um operador linear não singular e
, então
é um isomorfismo.”
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, operador linear, nulidade, posto e Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, operador linear, nulidade, posto e Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity).
Passo 2
“Operador linear não singular” significa que
, ou seja,
é injetiva. Em termos de nulidade,
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity) temos
Como
, segue
Passo 4
Sabemos também que
, logo
Mas como
e
, obtemos
Isto implica
, ou seja,
é sobrejetiva.
Passo 5
Concluímos então que
é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva. Por ser linear e bijetiva,
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
Verdadeiro (V)