Considere a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-x+y).
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
T é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x - y,;x + 3y,;-x + y)
e pede para avaliar se T é sobrejetora. O conteúdo é transformação linear, definição de sobrejeção e Teorema do posto (dimensão da imagem).

Passo 2

Lembrando que é sobrejetora se, e somente se,
Pelo Teorema do Posto, , onde é a matriz de . Logo, é sobrejetora sse .

Passo 3

Vamos escrever a matriz A em relação às bases canônicas. As colunas são T(e1) e T(e2):
A = 2 & -1 1 & 3 -1 & 1 ,
onde e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 4

Para achar
Resolvendo obtemos o sistema
Da terceira equação . Então . Logo e são independentes e .

Resposta

F

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