Considere a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-x+y).
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
T é injetora.

Passo 1

O enunciado define T: R^2toR^3 por
T(x,y) = (2x - y,;x + 3y,;-x + y)
e pede para verificar se T é injetora. O que vamos precisar é o conceito de núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Lembrando que uma transformação linear é injetora se, e somente se, o seu núcleo é trivial, isto é,
ker T = (0,0)
Então basta resolver o sistema
T(x,y) = (0,0,0)

Passo 3

Escrevendo o sistema explícito:
2x - y = 0, x + 3y = 0, -,x + y = 0
Da primeira equação vem y = 2x. Da terceira vem y = x. Igualando:
2x = x implies x = 0,
e assim y = 0. A segunda equação fica 0 + 3cdot0 = 0, satisfeita. Logo a única solução é (x,y)=(0,0).

Passo 4

Como ker T = (0,0), concluímos que T é injetora.

Resposta

V

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