Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: R^2 longrightarrow R^4, T(x, y)=(y, x, y, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é linear. Estamos trabalhando com funções que vão de R^2 para R^4, ou seja, de um espaço com 2 dimensões para um com 4 dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear e como verificar se a função T(x, y) = (y, x, y, x) satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função T: R^n R^m é linear se, para quaisquer vetores u, v in R^n e para qualquer escalar c in R, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(c cdot u) = c cdot T(u)
Ou seja, uma função é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades à nossa função T(x, y) = (y, x, y, x).
Primeira propriedade: Adição de Vetores
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) dois vetores em R^2.
Então,
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2, x1 + x2, y1 + y2, x1 + x2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (y1, x1, y1, x1) + (y2, x2, y2, x2) = (y1 + y2, x1 + x2, y1 + y2, x1 + x2)
Vemos que T(u + v) = T(u) + T(v), então a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Segunda propriedade: Multiplicação por Escalar
Seja c um escalar e u = (x, y) um vetor em R^2.
Então,
T(c cdot u) = T(cx, cy) = (cy, cx, cy, cx)
Por outro lado,
c cdot T(u) = c cdot (y, x, y, x) = (c y, c x, c y, c x)
Novamente, temos T(c cdot u) = c cdot T(u), então a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função T(x, y) = (y, x, y, x) é linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.

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