Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é linear. Estamos trabalhando com funções que vão de
para
, ou seja, de um espaço com 2 dimensões para um com 4 dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear e como verificar se a função
satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Ou seja, uma função é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades à nossa função
.
Primeira propriedade: Adição de Vetores
Sejam
e
dois vetores em
.
Então,
Por outro lado,
Vemos que
, então a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Segunda propriedade: Multiplicação por Escalar
Seja
um escalar e
um vetor em
.
Então,
Por outro lado,
Novamente, temos
, então a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.