Questão 3 (3 pontos). Considerando o seguinte produto interno de vetores do espaço
,
determine, se possível, os valores de
e
para que os vetores
e
formem uma base:
(a) normal (1,5 ponto)
(b) ortogonal (1,5 ponto)
(a) normal (1,5 ponto)
(b) ortogonal (1,5 ponto)
Passo 1
Neste exercício temos o espaço vetorial P₁(ℝ) com o produto interno definido por
. Os vetores são
e
. Precisamos achar
e
para que eles formem: (a) uma base normal (ou seja, cada vetor de norma 1) e (b) uma base ortogonal.
Passo 2
Para a base normal, exigimos que cada vetor tenha norma unitária. A norma de um vetor
é
. Primeiro, calculamos
:
Portanto
. Impor
leva a
, logo
.
Passo 3
Em seguida, calculamos
:
Assim
. Impor
dá
, ou seja
.
Passo 4
Para a base ortogonal, precisamos de
. Fazendo o cálculo:
Como para formar base ambos devem ser não nulos, não há como
sem anular um deles. Logo não existe escolha de
e
não nulos que torne
e
ortogonais.
Resposta
Para (a)
e
. Para (b) não existem valores não nulos de
e
que tornem
e
ortogonais, logo não é possível formar base ortogonal.