Questão 3 (3 pontos). Considerando o seguinte produto interno de vetores do espaço , determine, se possível, os valores de e para que os vetores e formem uma base:
(a) normal (1,5 ponto)
(b) ortogonal (1,5 ponto)

Passo 1

Neste exercício temos o espaço vetorial P₁(ℝ) com o produto interno definido por ⟨u,v⟩=∫₀¹u(x)v(x)dx¹. Os vetores são u(x)=a e v(x)=b x. Precisamos achar a e b para que eles formem: (a) uma base normal (ou seja, cada vetor de norma 1) e (b) uma base ortogonal.

Passo 2

Para a base normal, exigimos que cada vetor tenha norma unitária. A norma de um vetor p é |p|=raiz⟨p,p⟩. Primeiro, calculamos |u|:
|u|^2=integral0^1(a)^2,dx=a^2
Portanto |u|=|a|. Impor |u|=1 leva a a^2=1, logo a=pm1.

Passo 3

Em seguida, calculamos |v|:
|v|^2=integral0^1(b x)^2,dx=b^2integral0^1x^2,dx=b^23
Assim |v|=|b|/raiz3. Impor |v|=1 |b|=raiz3, ou seja b=pmraiz3.

Passo 4

Para a base ortogonal, precisamos de ⟨u,v⟩=0. Fazendo o cálculo:
⟨u,v⟩=integral0^1acdot b x,dx=a bintegral0^1x,dx=a b2
Como para formar base ambos devem ser não nulos, não há como a b/2=0 sem anular um deles. Logo não existe escolha de a e b não nulos que torne u e v ortogonais.

Resposta

Para (a) a=pm1 e b=pmraiz3. Para (b) não existem valores não nulos de a e b que tornem u e v ortogonais, logo não é possível formar base ortogonal.

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