Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(4,1) e v=(3,2)

Passo 1

O enunciado pede para achar o ângulo entre os vetores e a projeção de u na direção de v. Aqui o conteúdo principal é produto escalar de vetores, norma de vetores, fórmula do cosseno para ângulo e fórmula de projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o produto escalar. Lembrando que para u=(4,1) e v=(3,2) temos
ucdot v = 4cdot3 + 1cdot2 = 12 + 2 = 14

Passo 3

Agora calculamos as normas dos vetores. A norma é dada por |w|=raizw1^2+w2^2. Então
|u| = raiz4^2 + 1^2 = raiz17,
|v| = raiz3^2 + 2^2 = raiz13

Passo 4

Para encontrar o ângulo usamos a relação
costheta = ucdot v|u|,|v| = 14raiz17,raiz13 = 14raiz221
Logo
theta = arccosl(14raiz221r)approx20^circ

Passo 5

Por fim, a projeção de u sobre v é dada por
projv(u) = ucdot v|v|^2,v = 1413,(3,2) = l(4213,2813r)

Resposta

Ângulo: theta = arccosl(14/raiz221r) approx 20^circ; projeção de u em v: l(42/13,,28/13r).

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