Classifique as seguintes cônicas:
x^2-2 y^2+6 x+4 y+9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^2-2y^2+6x+4y+9=0
e pede sua classificação. Para isso vamos usar dois critérios: o discriminante da forma geral e, em seguida, completar quadrados para obter a forma canônica.

Passo 2

Na forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
temos A=1, B=0, C=-2, D=6, E=4, F=9. Calculamos o discriminante
De<a = B^2-4AC = 0^2-4cdot1cdot(-2)=8

Passo 3

Como De<a>0, a cônica é uma hipérbole (no caso de cônicas sem termo xy, basta De<a>0 para indicar hipérbole).

Passo 4

Para encontrar a forma canônica e o centro, completamos quadrados:
agrupamos
x^2+6xe -2y^2+4y
Escrevendo
x^2+6x=(x+3)^2-9,
-2y^2+4y=-2l(y^2-2yr)=-2l((y-1)^2-1r)=-2(y-1)^2+2
Substituindo na equação original:
(x+3)^2-9 ;+;l[-2(y-1)^2+2r];+;9=0
Longrightarrow (x+3)^2-2(y-1)^2+(-9+2+9)=0
Longrightarrow (x+3)^2-2(y-1)^2+2=0
Longrightarrow (x+3)^2-2(y-1)^2=-2

Passo 5

Multiplicando por -1 e dividindo por 2 obtemos a forma canônica
2(y-1)^2-(x+3)^2=2 Longrightarrow (y-1)^21-(x+3)^22=1
Dessa forma vemos que é uma hipérbole com centro em (-3,1), eixos alinhados aos eixos coordenados, com eixo transverso vertical.

Resposta

A cônica dada é uma hipérbole com equação canônica
(y-1)^21-(x+3)^22=1

Exercícios relacionados