Verifique se o vetor p(x)=x^3-2 x pertence ao subespaço de P3(R) gerado por x^3-1 x^2+1, x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio p(x)=x^3-2x está no subespaço de P3(R) gerado pelos vetores (polinômios) x^3-1,;x^2+1,;x. O conteúdo aqui é combinação linear e igualdade de coeficientes para polinômios.

Passo 2

Para p(x) pertencer ao subespaço, devem existir escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha,(x^3-1);+;beta,(x^2+1);+;gamma,x ;=;x^3-2x

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo:
alpha x^3 ;-;alpha ;+;beta x^2 ;+;beta ;+;gamma x ;=;x^3 ;+;0,x^2;-;2x;+;0
Comparando coeficientes de x^3, x^2, x e do termo constante, obtemos o sistema
alpha = 1, beta = 0, gamma = -2, -alpha + beta = 0

Passo 4

Das três primeiras equações temos alpha=1 e beta=0, mas a quarta exige -1+0=0, o que é falso. Portanto não existe solução (alpha,beta,gamma).

Resposta

p(x)=x^3-2x não pertence ao subespaço gerado por x^3-1,;x^2+1,;x.

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