Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W2=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x-2 y=0 e t+x=z.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W2=(x,y,z,t)inR^4mid 2x-2y=0 e t+x=z
Estamos em presença de um sistema homogêneo de duas equações lineares em quatro incógnitas. Para resolver, vamos simplificar as equações e parametrizar as variáveis livres.

Passo 2

Simplificando as equações dadas:
A primeira é
2x-2y=0Longrightarrow x=y
A segunda é
t+x=zLongrightarrow z=t+x

Passo 3

Como temos quatro variáveis e duas equações, escolhemos duas variáveis livres. Seja
x=s, t=u,
com s,uinR. Então
y=x=s, z=t+x=u+s,
e t=u. Logo todo vetor de W2 pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(s,s,s+u,u)

Passo 4

Reescrevendo em forma de combinação linear, temos
(s,s,s+u,u) =s,(1,1,1,0)+u,(0,0,1,1)
Os vetores (1,1,1,0) e (0,0,1,1) geram W2. Como são linearly independentes, formam uma base.

Resposta

Uma base de W2 é
(1,1,1,0),,(0,0,1,1),
e dim W2=2.

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