Classifique as seguintes cônicas:
36 x^2+9 y^2-108 x+6 y+82=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por
36x^2+9y^2-108x+6y+82=0
Neste tipo de problema vamos usar dois critérios: o discriminante das coeficientes quadráticos para saber se é elipse, hipérbola ou parábola, e depois completar quadrados para ver se ela é degenerada ou não.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A=36, B=0, C=9, D=-108, E=6, F=82
O discriminante é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4cdot36cdot9 = -1296 < 0,
que indica tratar-se de uma elipse (ou de caso degenerado de elipse).

Passo 3

Para verificar se há degeneração, completamos quadrados em x e em y. Agrupando termos:
36(x^2 - 3x) ;+; 9l(y^2 + tfrac23,yr);+;82=0

Passo 4

Dentro dos parênteses completamos:
x^2 - 3x = (x-tfrac32)^2 - tfrac94, y^2 + tfrac23,y = l(y+tfrac13r)^2 - tfrac19
Substituindo:
36l[(x-tfrac32)^2 - tfrac94r] ;+; 9l[(y+tfrac13)^2 - tfrac19r] ;+;82=0
Isso dá
36(x-tfrac32)^2 + 9(y+tfrac13)^2 ;-;36cdottfrac94 - 9cdottfrac19 +82 = 0
36(x-tfrac32)^2 + 9(y+tfrac13)^2 -81 -1 +82 = 0
36(x-tfrac32)^2 + 9(y+tfrac13)^2 = 0

Passo 5

Como cada termo ao quadrado é não-negativo, a soma só pode ser zero se ambos forem zero. Logo a única solução é
x-tfrac32 =0, y+tfrac13 =0,
ou seja l(x,yr)=(tfrac32,-tfrac13). Isso mostra que a elipse degenerou em um ponto.

Resposta

A cônica é uma elipse degenerada reduzida ao ponto l(tfrac32,-tfrac13r).

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