Classifique as seguintes cônicas: 9 x^2+42 x+49=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação 9x^2 + 42x + 49 = 0 e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre cônicas e ver como identificar cada tipo a partir da equação que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, a equação é 9x^2 + 42x + 49 = 0. Comparando com a forma geral, vemos que:
  • A = 9
  • B = 0 (não temos o termo xy)
  • C = 0 (não temos o termo y^2)
  • D = 42
  • E = 0
  • F = 49

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da cônica, que é dado por:
De
Substituindo os valores:
De
O discriminante nos ajuda a identificar o tipo de cônica:
  • Se De 0, é uma hipérbole.
  • Se De, é uma parábola ou uma reta.
  • Se De, é uma elipse ou um círculo.
Como De, sabemos que pode ser uma parábola ou uma reta.

Passo 4

Vamos tentar completar o quadrado para simplificar a equação e ver melhor o que está acontecendo. A gente tem:
9x^2 + 42x + 49 = 0
Primeiro, dividimos todos os termos por 9 para facilitar:
x^2 + 429x + 499 = 0 x^2 + 143x + 499 = 0
Agora, isolamos os termos com x:
x^2 + 143x = -499
Para completar o quadrado, a gente adiciona (146)^2 = (73)^2 = 499 em ambos os lados:
x^2 + 143x + 499 = -499 + 499 (x + 73)^2 = 0

Passo 5

A equação ficou:
(x + 73)^2 = 0
Isso significa que:
x + 73 = 0 x = -73
Essa é uma equação linear que representa uma reta vertical no plano cartesiano. Não há termos com y, então a reta é paralela ao eixo y.

Resposta

A equação 9x^2 + 42x + 49 = 0 representa uma reta vertical no plano cartesiano.

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