Determine x, tal que P(2, x) seja equidistante dos pontos A(0,2) e B(2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria. A gente precisa encontrar o valor de para o ponto ficar à mesma distância dos pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e . A fórmula é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre dPA = raiz(2 - 0)^2 + (x - 2)^2 = raiz4 + (x - 2)^2 e usando a fórmula da distância:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a distância entre dPB = raiz(2 - 2)^2 + (x - 0)^2 = raiz0 + x^2 = raizx^2 = |x| e :

Passo 5

Como raiz4 + (x - 2)^2 = |x| está equidistante de e , as distâncias e devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
4 + (x - 2)^2 = x^2

Passo 7

Expandindo o termo 4 + x^2 - 4x + 4 = x^2 :

Passo 8

Simplificando a equação:
8 - 4x = 0

Passo 9

Resolvendo para -4x = -8 implies x = 2 :

Resposta

O valor de é 2.

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