Determine o centro e o raio da circunferência que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar o centro e o raio de uma circunferência que passa pelos pontos
,
e
. Isso envolve estudar geometria analítica, especialmente como encontrar o centro e o raio de um círculo a partir de três pontos. Vamos precisar usar as mediatrizes dos segmentos que ligam esses pontos e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as mediatrizes dos segmentos
e
. A mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto médio de
e a inclinação de
para depois determinar a equação da mediatriz de
.
Para
:
- Ponto médio:
- Inclinação de
: - Inclinação da mediatriz: negativa recíproca,
- Equação da mediatriz de
: que simplifica para
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o segmento
.
Para
:
- Ponto médio:
- Inclinação de
: - Inclinação da mediatriz: negativa recíproca,
- Equação da mediatriz de
: que simplifica para
Passo 5
Agora que temos as equações das duas mediatrizes, vamos encontrar o ponto de interseção delas, que será o centro da circunferência.
Resolvendo o sistema:
Igualando as duas equações:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar frações:
Resolvendo:
Substituindo
em
:
Então, o centro é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o raio usando a distância entre o centro e um dos pontos, por exemplo, ponto
.
A fórmula da distância é:
Substituindo:
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio é aproximadamente
.