Determine o centro e o raio da circunferência que passa pelos pontos A(1,2), B(4,5) e C(-1,-1).

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar o centro e o raio de uma circunferência que passa pelos pontos , e . Isso envolve estudar geometria analítica, especialmente como encontrar o centro e o raio de um círculo a partir de três pontos. Vamos precisar usar as mediatrizes dos segmentos que ligam esses pontos e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as mediatrizes dos segmentos e . A mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio de e a inclinação de para depois determinar a equação da mediatriz de .
Para :
  • Ponto médio:
  • Inclinação de :
  • Inclinação da mediatriz: negativa recíproca,
  • Equação da mediatriz de : que simplifica para

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o segmento .
Para :
  • Ponto médio:
  • Inclinação de :
  • Inclinação da mediatriz: negativa recíproca,
  • Equação da mediatriz de : que simplifica para

Passo 5

Agora que temos as equações das duas mediatrizes, vamos encontrar o ponto de interseção delas, que será o centro da circunferência.
Resolvendo o sistema:
y = -x + 6 y = -56x + 194
Igualando as duas equações:
-x + 6 = -56x + 194
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar frações:
-12x + 72 = -10x + 57
Resolvendo:
-12x + 72 = -10x + 57 -2x = -15 x = 152
Substituindo y = -152 + 6 = -152 + 122 = -32 em :
Então, o centro é .

Passo 6

Agora, vamos calcular o raio usando a distância entre o centro e um dos pontos, por exemplo, ponto r = raiz ( xc - xA )^2 + ( yc - yA )^2 .
A fórmula da distância é:
r = raiz ( 152 - 1 )^2 + ( -32 - 2 )^2 = raiz ( 132 )^2 + ( -72 )^2 = raiz 1694 + 494 = raiz 2184 = raiz54,5 approx 7,38
Substituindo:

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é aproximadamente .

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