Considere o segmento A B, sendo A(-1 ; 5) e B(8 ; 2). Determine as coordenadas dos pontos C e D que divide o segmento em três partes iguais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos um segmento de reta A B com os pontos A(-1; 5) e B(8; 2). A tarefa é encontrar as coordenadas dos pontos C e D que dividem esse segmento em três partes iguais. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula que determina as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma determinada razão.

Passo 2

Quando queremos dividir um segmento em partes iguais, podemos pensar em dividir a distância total de forma proporcional. No nosso caso, queremos dividir o segmento A B em três partes iguais. Isso significa que os pontos C e D vão dividir o segmento em uma razão de 1:2 e 2:1, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas do ponto C primeiro. Como C divide o segmento A B na razão 1:2, usamos a fórmula da divisão interna:
xC = m cdot xB + n cdot xAm + n
yC = m cdot yB + n cdot yAm + n
Aqui, m = 1 e n = 2. Substituindo os valores:
xC = 1 cdot 8 + 2 cdot (-1)1 + 2 = 8 - 23 = 63 = 2
yC = 1 cdot 2 + 2 cdot 51 + 2 = 2 + 103 = 123 = 4
Então, as coordenadas de C são (2; 4).

Passo 4

Agora, vamos calcular as coordenadas do ponto D. O ponto D divide o segmento A B na razão 2:1. Usando a mesma fórmula:
xD = m cdot xB + n cdot xAm + n
yD = m cdot yB + n cdot yAm + n
Aqui, m = 2 e n = 1. Substituindo os valores:
xD = 2 cdot 8 + 1 cdot (-1)2 + 1 = 16 - 13 = 153 = 5
yD = 2 cdot 2 + 1 cdot 52 + 1 = 4 + 53 = 93 = 3
Então, as coordenadas de D são (5; 3).

Resposta

As coordenadas dos pontos C e D que dividem o segmento A B em três partes iguais são C(2; 4) e D(5; 3).

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