Prove que os pontos (1, a+b),(a, 1+b) e (b, 1+a) são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os pontos , e estão alinhados, ou seja, são colineares. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como verificar se três pontos estão na mesma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular se três pontos estão colineares usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que três pontos x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1 = 0 , e são colineares se o determinante formado por eles for igual a zero. O determinante é calculado assim:
Se esse determinante for zero, significa que os pontos estão na mesma linha.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas dos pontos:
  • 1 & a + b & 1 a & 1 + b & 1 b & 1 + a & 1
Agora, substituímos esses valores na fórmula do determinante:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante passo a passo. Lembre-se que o determinante de uma matriz x1(y2 cdot 1 - y3 cdot 1) - y1(x2 cdot 1 - x3 cdot 1) + 1(x2 cdot y3 - x3 cdot y2) é calculado da seguinte forma:
1[(1 + b)(1) - (1 + a)(1)] - (a + b)[a cdot 1 - b cdot 1] + 1[a(1 + a) - b(1 + b)]
Aplicando isso aos nossos pontos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
1[(1 + b) - (1 + a)] = 1[b - a]
  1. Segundo termo:
-(a + b)[a - b] = -(a + b)(a - b) = -(a^2 - b^2)
  1. Terceiro termo:
1[a(1 + a) - b(1 + b)] = a + a^2 - b - b^2
Então, somando tudo:
(b - a) - (a^2 - b^2) + (a + a^2 - b - b^2)

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
b - a - a^2 + b^2 + a + a^2 - b - b^2
Simplificando:
  • 0
Tudo cancela, restando:

Resposta

Como o determinante é igual a zero, isso prova que os pontos , e são colineares.

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