Classifique os seguintes conjuntos de equações que representam escoamentos, em função do tempo, geometria e compressibilidade:
u=2 x^{2}+y^{2} \quad v=x^{3}-x\left(y^{2}-2 y\right) \quad w=2 x^{2}-z^{2}

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
u = 2x^{2} + y^{2},\quad v = x^{3} - x\,(y^{2} - 2y),\quad w = 2x^{2} - z^{2}
e pede para classificá-lo em relação a
  1. dependência temporal (steady ou unsteady),
  2. número de dimensões geométricas (2D ou 3D),
  3. compressibilidade (incompressível se \nabla\cdot\mathbf{V}=0, caso contrário compressível).

Passo 2

Verificamos se há dependência explícita em \,t. Como u, v e w dependem apenas de x,y,z e não de t, concluímos que o escoamento é permanente (steady).

Passo 3

Observamos que o campo tem três componentes não-nulas ( u,v,w) que dependem das três coordenadas espaciais x, y e z. Logo, trata-se de um escoamento tridimensional (3D).

Passo 4

Para checar compressibilidade, calculamos a divergência
\nabla\cdot\mathbf{V} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}.
Calculando termo a termo:
\frac{\partial u}{\partial x}=4x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-x(2y-2)=-2xy+2x,\quad \frac{\partial w}{\partial z}=-2z.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{V} =4x +(-2xy+2x) +(-2z) =2x(3 - y)-2z,
que em geral não é zero. Portanto o escoamento é compressível.

Resposta

escoamento permanente (steady), tridimensional (3D) e compressível.

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