Classifique os seguintes conjuntos de equações que representam escoamentos, em função do tempo, geometria e compressibilidade:
u=2 y x-x^{2}+y \quad v=2 x y-y^{2}+x^{2} \quad \ldots \quad W=2 y x-x^{2}+z

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades em coordenadas cartesianas
u = 2\,y\,x - x^{2} + y,\quad v = 2\,x\,y - y^{2} + x^{2},\quad w = 2\,y\,x - x^{2} + z
e pede que classifiquemos esse escoamento quanto a
  1. dependência do tempo (estacionário ou não),
  2. geometria (bidimensional ou tridimensional),
  3. compressibilidade (incompressível ou compressível).

Passo 2

Verificamos a dependência em relação ao tempo t. Como nenhuma das componentes u,v,w depende explicitamente de t, concluímos que o escoamento é estacionário (steady).

Passo 3

Analisamos a dependência espacial das componentes:
  • u e v dependem de (x,y), mas não de z.
  • w depende de (x,y,z).
    Portanto, o campo varia em todas as três direções espaciais, logo é tridimensional.

Passo 4

Para decidir sobre compressibilidade, calculamos a divergência do campo de velocidades:
\nabla\!\cdot\mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}.
Calculando cada termo:
\frac{\partial u}{\partial x} =2\,y-2\,x,\quad \frac{\partial v}{\partial y} =2\,x-2\,y,\quad \frac{\partial w}{\partial z} =1.
Somando:
\nabla\!\cdot\mathbf{V} =(2y-2x)+(2x-2y)+1=1\neq0.
Como \nabla\!\cdot\mathbf{V}\neq0, o escoamento é compressível.

Resposta

O escoamento é estacionário, tridimensional e compressível.

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