Classifique os seguintes conjuntos de equações que representam escoamentos, em função do tempo, geometria e compressibilidade:
u=x t+2 y \quad v=x t^{2}-y t \quad w=z t

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades em coordenadas cartesianas
u = x\,t + 2\,y,\quad v = x\,t^{2} - y\,t,\quad w = z\,t
e pede a classificação do escoamento em função do tempo (estacionário ou não), da geometria (dimensionalidade) e da compressibilidade (incompressível ou compressível). Para isso vamos usar:
  1. Presença ou não de t nas componentes para decidir se é estacionário.
  2. Número de componentes não nulas para definir se é 1D, 2D ou 3D.
  3. A condição de incompressibilidade \nabla\cdot\mathbf{u}=0 avaliando a divergência do campo.

Passo 2

Verificamos a dependência temporal: todas as componentes u, v e w dependem explicitamente de t. Logo o escoamento não é estacionário (é transiente).

Passo 3

Como há três componentes de velocidade u, v e w não identicamente nulas e cada uma funciona sobre x,y,z, o escoamento é tridimensional.

Passo 4

Calculamos a divergência
\nabla\cdot\mathbf{u} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z} =t +(-t) + t = t
Como \nabla\cdot\mathbf{u}=t\neq0 para t\neq0, o escoamento é compressível.

Resposta

O escoamento é não estacionário, tridimensional e compressível.

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