Classifique os seguintes conjuntos de equações que representam escoamentos, em função do tempo, geometria e compressibilidade:
u=(x+2 y) x t \quad v=(2 x-y) y t \quad w=-z t

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades de um escoamento em coordenadas cartesianas dado por
u=(x+2y)\,x\,t,\quad v=(2x-y)\,y\,t,\quad w=-z\,t.
Precisamos classificá-lo quanto a
  1. dependência temporal (estacionário ou não);
  2. dimensionalidade ou geometria (unidimensional, bidimensional ou tridimensional);
  3. compressibilidade (incompressível ou compressível).

Passo 2

Para verificar se o escoamento é estacionário, analisamos a dependência das componentes de velocidade em relação a t. Aqui cada componente multiplia termos espaciais por t, ou seja,
\frac{\partial u}{\partial t}=(x+2y)\,x\neq0,\quad \frac{\partial v}{\partial t}=(2x-y)\,y\neq0,\quad \frac{\partial w}{\partial t}=-z\neq0
em geral. Logo, o campo varia com o tempo e o escoamento é não estacionário (ou seja, unsteady).

Passo 3

Para ver a geometria ou dimensionalidade, observamos quantas componentes de velocidade são não nulas e com quais variáveis espaciais elas interagem. Aqui temos \,u e \,v dependentes de x,y e \,w dependente de z. Além disso \,w\neq0. Isto mostra que o escoamento ocupa as três direções do espaço, sendo um escoamento tridimensional.

Passo 4

Um escoamento é incompressível se
\nabla\cdot\mathbf{u} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} =0
em todo o domínio. Calculamos:
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(t(x^2+2xy)\bigr) =t(2x+2y),
\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(t(2xy-y^2)\bigr) =t(2x-2y),
\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(-z\,t) =-t.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{u} =t(2x+2y)+t(2x-2y)-t =t\,(4x-1),
que em geral não é zero. Portanto o escoamento é compressível.

Resposta

O escoamento é não estacionário, tridimensional e compressível.

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