Classifique os seguintes conjuntos de equações que representam escoamentos, em função do tempo, geometria e compressibilidade:
\boldsymbol{u} \boldsymbol{v} \boldsymbol{w}
a) x+y+z^{2} x-y+z 2 x y+y^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada campo de velocidade em três aspectos:
– Dependência do tempo (escoamento estacionário ou não);
– Geometria (bidimensional ou tridimensional);
– Compressibilidade (incompressível se \nabla\cdot\mathbf{v}=0, caso contrário compressível).
No item (a) temos \displaystyle u=x+y+z^2,\quad v=x-y+z,\quad w=2xy+y^2+4,
sem referência a t, e com três componentes varia-ndo em (x,y,z).

Passo 2

Verificamos a dependência temporal. Como não aparece t em nenhuma componente, o escoamento é independente do tempo, ou seja, é estacionário.

Passo 3

Analisamos a geometria do escoamento. Há três componentes não nulas u,v,w que dependem de x,y,z. Logo é um escoamento tridimensional.

Passo 4

Para ver a compressibilidade calculamos a divergência
\nabla\cdot\mathbf{v} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial w}{\partial z}=0,
portanto
\nabla\cdot\mathbf{v} =1+(-1)+0=0.
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Resposta

No caso (a) o escoamento é estacionário, tridimensional e incompressível.

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