Para os seguintes escoamentos bidimensionais, descritos pelas equações:
a)
\vec{u}(x, y, t)=(2 x t) \hat{i}-(2 y t) \hat{j}
b)
\vec{u}(x, y, t)=3\left(x^{2}-y^{2}\right) \hat{i}+(6 x y) \hat{j}
onde x e y são em metros e t em segundos.
a) Determine para cada escoamento as expressões para os componentes das acelerações locais e convectiva.
b) Determine os módulos dos vetores velocidades e aceleração quando x=y=1 \mathrm{~m} e t=0

Passo 1

O enunciado dá dois escoamentos bidimensionais e pede (a) as componentes da aceleração local e da aceleração convectiva, e (b) os módulos de \vec u e de \vec a em x=y=1 m, t=0.
Vamos usar as definições
– aceleração local: \displaystyle a_{\rm local}=\frac{\partial \vec u}{\partial t},
– aceleração convectiva: \displaystyle a_{\rm conv}=(\vec u\cdot\nabla)\vec u= u_x\frac{\partial\vec u}{\partial x}+u_y\frac{\partial\vec u}{\partial y}.

Passo 2

Escoamento (a): \displaystyle \vec u=(2xt)\,\hat i-(2yt)\,\hat j.
A aceleração local é
\frac{\partial \vec u}{\partial t} =\Bigl(\frac{\partial(2xt)}{\partial t}\Bigr)\hat i-\Bigl(\frac{\partial(2yt)}{\partial t}\Bigr)\hat j =(2x)\,\hat i-(2y)\,\hat j.

Passo 3

Ainda em (a), para a aceleração convectiva usamos \displaystyle \nabla u_x=(2t,0), \displaystyle \nabla u_y=(0,-2t).
Assim
a_{\rm conv} =(u_x\partial_x+u_y\partial_y)(u_x\hat i+u_y\hat j) =(2xt)(2t)\,\hat i+(-2yt)(-2t)\,\hat j =(4xt^2)\,\hat i+(4yt^2)\,\hat j.

Passo 4

Escoamento (b): \displaystyle \vec u=3(x^2-y^2)\,\hat i+6xy\,\hat j.
Não há dependência em t, logo
a_{\rm local} =\frac{\partial \vec u}{\partial t} =\vec 0.

Passo 5

Para (b), calculamos \displaystyle \partial_xu_x=6x,\;\partial_yu_x=-6y,\;\partial_xu_y=6y,\;\partial_yu_y=6x.
Portanto
a_{\rm conv} =\Bigl[3(x^2-y^2)\cdot6x+6xy\cdot(-6y)\Bigr]\hat i +\Bigl[3(x^2-y^2)\cdot6y+6xy\cdot6x\Bigr]\hat j
=\bigl(18x^3-54xy^2\bigr)\,\hat i+\bigl(54x^2y-18y^3\bigr)\,\hat j.

Passo 6

Avaliação em x=y=1, t=0 para (a): \displaystyle \vec u=(2\cdot1\cdot0, -2\cdot1\cdot0)=(0,0)\implies|\vec u|=0.
Aceleração total é a_{\rm local}+a_{\rm conv}=(2x, -2y)+(0,0)=(2,-2), logo
|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2.

Passo 7

Avaliação em x=y=1, t=0 para (b): \displaystyle \vec u=(3(1-1),6\cdot1\cdot1)=(0,6)\implies|\vec u|=6.
Aceleração total é só a_{\rm conv} com x=y=1: \displaystyle a_x=18-54=-36,\;a_y=54-18=36,
|\vec a|=\sqrt{(-36)^2+36^2}=\sqrt{2592}=36\sqrt2.

Resposta

a)
Escoamento (a):
a_{\rm local}=(2x)\,\hat i-(2y)\,\hat j
a_{\rm conv}=(4xt^2)\,\hat i+(4yt^2)\,\hat j
Escoamento (b):
a_{\rm local}=\vec 0
a_{\rm conv}=\bigl(18x^3-54xy^2\bigr)\,\hat i+\bigl(54x^2y-18y^3\bigr)\,\hat j
b)
Em x=y=1, t=0:
– Para (a): |\vec u|=0, |\vec a|=2\sqrt2.
– Para (b): |\vec u|=6, |\vec a|=36\sqrt2.

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