Questão 4 - A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo, U_{0} e V_{0} são constantes.
\vec{u}(x, y)=\left(U_{0}+a_{1} x+b_{1} y\right) \hat{1}+\left(V_{0}+a^{2} x+b^{2} y\right) \hat{j}
A respeito deste escamento responda ao que se pede:
a):Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento:
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Determine as condições necessárias para que este escoamento seja incompressível?

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidade bidimensional e estacionário
\vec{u}(x,y)=\bigl(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y\bigr)\,\hat{i}+\bigl(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y\bigr)\,\hat{j},
onde U_{0}, V_{0}, a_{1}, b_{1}, a^{2} e b^{2} são constantes. Vamos (a) classificar a dimensão e o regime do escoamento, (b) obter o vetor aceleração via derivada convectiva e (c) exigir a condição \nabla\cdot\vec{u}=0 para incompressibilidade.

Passo 2

Item (a):
  • Dimensão: é um escoamento em x,y, logo é bidimensional.
  • Regime: não há dependência de tempo explícita, então é estacionário. Além disso, o campo é suave (linear) e não há turbilhão implícito, caracterizando um escoamento laminar.

Passo 3

Item (b):
A aceleração em escoamentos permanentes é puramente convectiva, dada por
\vec{a}=(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}.
Calculando as componentes:
a_{x}=(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,\frac{\partial}{\partial x}(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,\frac{\partial}{\partial y}(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y),
a_{y}=(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,\frac{\partial}{\partial x}(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,\frac{\partial}{\partial y}(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y).
Como \partial(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)/\partial x=a_{1}, \partial(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)/\partial y=b_{1}, \partial(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)/\partial x=a^{2} e \partial(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)/\partial y=b^{2}, resulta
\vec{a}(x,y)=\bigl[(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,a_{1}+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,b_{1}\bigr]\hat{i} \;+\;\bigl[(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,a^{2}+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,b^{2}\bigr]\hat{j}.

Passo 4

Item (c):
Para incompressibilidade, impomos
\nabla\cdot\vec{u}=\frac{\partial u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial u_{y}}{\partial y}=a_{1}+b^{2}=0.

Resposta

a) Escoamento bidimensional e estacionário (laminar).
b)
\vec{a}(x,y)=\bigl[(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,a_{1}+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,b_{1}\bigr]\hat{i} \;+\;\bigl[(U_{0}+a_{1}x+b_{1}y)\,a^{2}+(V_{0}+a^{2}x+b^{2}y)\,b^{2}\bigr]\hat{j}.
c) A condição de incompressibilidade é
a_{1}+b^{2}=0.

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