Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
e^{2} x+x^{3}+x^{5}=-3

Passo 1

O enunciado pede que a equação
e^{2}x + x^{3} + x^{5} = -3
seja classificada como algébrica (polinomial ou não) ou transcendental. Informações dadas importantes:
  • A incógnita é x.
  • Os termos dependentes de x presentes são e^{2}x, x^{3} e x^{5}.
  • O lado direito é o número -3.
  • Atenção: o termo mostrado é e^{2}x, que significa e^{2}\cdot x (constante e^{2} multiplicando x), e não e^{2x} (que seria função exponencial de x).

Passo 2

Vou explicar o que significa cada tipo para você entender a classificação:
  • Uma equação algébrica, no sentido usado aqui, é uma equação em que aparece um polinómio em x igual a zero (ou equivalente a isso), ou mais geralmente uma relação envolvendo apenas operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação) sobre x. Exemplos: x^2-1=0 (polinomial), \sqrt{x}+x-2=0 (algébrica não polinomial).
  • Uma equação polinomial é um caso particular: é da forma
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,
onde os coeficientes a_i são constantes (números) e os expoentes são inteiros não-negativos. Exemplo: 2x^3-5x+1=0.
  • Uma equação transcendental contém funções transcendentes de x, como e^{x}, \sin x, \ln x etc. Exemplo: e^{x}+x=0 é transcendental.

Passo 3

Apliquei essas definições ao nosso caso. Primeiro reescrevo a equação trazendo tudo para um lado, formando algo igual a zero:
e^{2}x + x^{3} + x^{5} + 3 = 0.
Note que ao somar 3 em ambos os lados obtive este polinómio em x.

Passo 4

Agora verifico as características:
  • Os termos envolvendo x são x^{5}, x^{3} e e^{2}\cdot x. Cada um tem um expoente inteiro não-negativo sobre x (respectivamente 5, 3 e 1).
  • O termo constante é 3.
  • O coeficiente e^{2} é apenas um número real (aproximadamente 7{,}389\ldots); não é uma função de x. Ter coeficientes não-racionais ou não-inteiros não impede que seja polinomial — basta que sejam constantes.
  • Não aparece nenhuma função do tipo e^{x}, \sin x, \ln x ou similar: tudo são potências inteiras de x multiplicadas por constantes.
Portanto a expressão do lado esquerdo é um polinómio em x.

Passo 5

Conclusão lógica: sendo a equação equivalente a um polinómio em x igual a zero, ela é uma equação algébrica e, mais especificamente, polinomial. O maior expoente de x que aparece é 5, logo o polinómio tem grau 5.

Resposta

Equação algébrica polinomial de grau 5.

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