Classifique se as seguintes equações diferenciais são lineares ou não. Dê também a ordem da equação. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra classificar se ela é linear ou não, e também descobrir qual é a ordem dela. O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente classificação de equações diferenciais. Pra resolver isso, vamos precisar saber o que torna uma equação diferencial linear e entender o conceito de ordem da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que a gente tem:
Aqui, temos uma combinação de derivadas de
em relação a
. Nosso objetivo é ver se essa combinação segue as propriedades de uma equação linear.
Passo 3
Vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é linear se ela pode ser escrita da forma:
Ou seja, cada termo que envolve a função
ou suas derivadas está multiplicado por uma função só de
(como
), e não há produtos ou funções não lineares de
ou suas derivadas.
Passo 4
Vamos analisar cada termo da nossa equação:
-
: Esse é o quarto derivada de , multiplicada por 1. Isso é linear. -
: Aqui temos multiplicando a primeira derivada de . Como é apenas uma função de e está multiplicando , isso também é linear. -
: Esse termo é mais complicado. Temos a tangente de multiplicada por . Isso não é linear porque a função tangente aplicada a introduz uma não linearidade.
Passo 5
Como a equação tem um termo não linear, ou seja,
, isso significa que a equação diferencial não é linear.
Passo 6
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Na nossa equação, a derivada de maior ordem é:
Então, a ordem é 4.
Resposta
A equação é não linear e é de quarta ordem.