Classifique se as seguintes equações diferenciais são lineares ou não. Dê também a ordem da equação. Justifique sua resposta.
d^4 yd t^4+t y^prime=tan (t y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra classificar se ela é linear ou não, e também descobrir qual é a ordem dela. O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente classificação de equações diferenciais. Pra resolver isso, vamos precisar saber o que torna uma equação diferencial linear e entender o conceito de ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que a gente tem:
d^4 ydt^4 + t y' = tan(t y)
Aqui, temos uma combinação de derivadas de y em relação a t . Nosso objetivo é ver se essa combinação segue as propriedades de uma equação linear.

Passo 3

Vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é linear se ela pode ser escrita da forma:
an(t) y^(n) + an-1(t) y^(n-1) + dots + a1(t) y' + a0(t) y = g(t)
Ou seja, cada termo que envolve a função y ou suas derivadas está multiplicado por uma função só de t (como ai(t) ), e não há produtos ou funções não lineares de y ou suas derivadas.

Passo 4

Vamos analisar cada termo da nossa equação:
  1. d^4 ydt^4: Esse é o quarto derivada de y , multiplicada por 1. Isso é linear.
  2. t y': Aqui temos t multiplicando a primeira derivada de y . Como t é apenas uma função de t e está multiplicando y' , isso também é linear.
  3. tan(t y): Esse termo é mais complicado. Temos a tangente de t multiplicada por y . Isso não é linear porque a função tangente aplicada a t y introduz uma não linearidade.

Passo 5

Como a equação tem um termo não linear, ou seja, tan(t y), isso significa que a equação diferencial não é linear.

Passo 6

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Na nossa equação, a derivada de maior ordem é:
d^4 ydt^4
Então, a ordem é 4.

Resposta

A equação é não linear e é de quarta ordem.

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