Resolva as inequações:
log 14(x^2+4 x-5)<2 cdot log 14 4

Passo 1

Então, cara, o enunciado é resolver
log14l(x^2+4x-5r);<;2;cdot;log144
Isso é uma inequação logarítmica. Pra desenrolar a parada, vamos ter que:
  1. achar o domínio do log (o argumento tem que ser > 0),
  2. simplificar o lado direito,
  3. usar que log de base entre 0 e 1 é decrescente,
  4. montar e resolver a inequação quadrática que surgir,
  5. combinar tudo no final.

Passo 2

Domínio do log:
x^2+4x-5>0
Isso é uma inequação do 2º grau. Calcula o discriminante:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot(-5) = 16 + 20 = 36
As raízes são
x = -4 pm 62 ;Longrightarrow; x=-5 ou x=1
Como o coeficiente de x^2 é positivo, x^2+4x-5>0 para
x < -5ou x > 1

Passo 3

Simplifica o lado direito:
2cdotlog144 = log14(4^2) = log1416
Logo a inequação fica
log14l(x^2+4x-5r) ;<; log1416

Passo 4

Como a base tfrac14 está entre 0 e 1, a função log14(t) é decrescente. Ou seja, para A>0 e B>0,
log14A < log14B Long<=ftrightarrow A > B
Aplicando aqui:
x^2+4x-5 > 16 ;Longrightarrow; x^2+4x-21>0

Passo 5

Resolve agora x^2+4x-21>0. Discriminante:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot(-21) = 16 + 84 = 100,
raízes em
x = -4 pm 102 = -7,;3
Como a=1>0, a expressão é positiva para
x < -7 ou x > 3

Passo 6

Combina essa solução com o domínio (x<-5)cup(x>1). Note que:
  • Se x<-7, então x<-5.
  • Se x>3, então x>1.
    Portanto, a interseção é simplesmente
x < -7 ou x > 3

Resposta

(-infty,,-7);cup;(3,,+infty)

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