Dê uma demonstração convincente de que a equação de segunda ordem
, sendo
e
constantes, tem sempre, pelo menos, uma solução do tipo
, sendo
uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de segunda ordem
com
constantes sempre admite pelo menos uma solução da forma
onde
é constante. Vamos usar o método do ansatz exponencial, muito comum para equações lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Proponha
Então derivando:
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação dada, obtemos
Colocando
em evidência:
Passo 4
Como
para todo
, a única forma de a expressão anular é
Esse é o polinômio característico de grau 2. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, ele sempre possui pelo menos uma raiz (real ou complexa), digamos
.
Passo 5
Logo, para
vale
e consequentemente
é de fato uma solução da equação original.
Resposta
Fica demonstrado que existe sempre ao menos uma solução da forma
onde
é raiz do polinômio característico
.