Dê uma demonstração convincente de que a equação de segunda ordem a y^prime prime+b y^prime+c y=0, sendo a, b e c constantes, tem sempre, pelo menos, uma solução do tipo y1=e^m1 x, sendo m1 uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de segunda ordem
a,y'' + b,y' + c,y = 0
com a,b,c constantes sempre admite pelo menos uma solução da forma
y1(x)=e^m1x,
onde m1 é constante. Vamos usar o método do ansatz exponencial, muito comum para equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Proponha
y(x)=e^m x
Então derivando:
y'(x)=m,e^m x,
y''(x)=m^2,e^m x

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação dada, obtemos
a,(m^2 e^m x) + b,(m e^m x) + c,(e^m x) = 0
Colocando e^m x em evidência:
l(a m^2 + b m + cr),e^m x = 0

Passo 4

Como e^m xneq 0 para todo x, a única forma de a expressão anular é
a m^2 + b m + c = 0
Esse é o polinômio característico de grau 2. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, ele sempre possui pelo menos uma raiz (real ou complexa), digamos m1.

Passo 5

Logo, para m=m1 vale
a m1^2 + b m1 + c=0,
e consequentemente
y1(x)=e^m1 x
é de fato uma solução da equação original.

Resposta

Fica demonstrado que existe sempre ao menos uma solução da forma
y1(x)=e^m1x,
onde m1 é raiz do polinômio característico a m^2 + b m + c=0.

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