A função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução y2(x).
6 y^prime prime+y^prime-y=0 ; y1=e^x / 3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea
6,y'' + y' - y = 0
e fornece uma solução conhecida ;y1(x)=e^x/3. O conteúdo é redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente ;y2(x).

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
dividindo por 6:
y'' + tfrac16,y' - tfrac16,y = 0
Aqui ;p(x)=tfrac16.

Passo 3

Usamos a fórmula de redução de ordem para EDO de segunda ordem:
y2 = y1,integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx
Calculamos
integral p(x),dx = integral tfrac16,dx = tfracx6, e^-integral p,dx = e^-x/6, y1^2 = e^2x/3
Logo o integrando é
e^-x/6e^2x/3 = e^-x/6 - 2x/3 = e^-5x/6

Passo 4

Integramos o fator encontrado:
integral e^-5x/6,dx = -tfrac65,e^-5x/6 + C
Assim
y2 = y1,l(-tfrac65e^-5x/6r) = -tfrac65,e^x/3 - 5x/6 = -tfrac65,e^-x/2
Desprezando a constante multiplicativa, obtemos a segunda solução
y2(x)=e^-x/2

Resposta

A segunda solução independentede é
y2(x)=e^-x/2

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