Classifique se as seguintes equações diferenciais são lineares ou não. Dê também a ordem da equação. Justifique sua resposta.
d^3 yd x^3+x^3 y=sec (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para analisar. O objetivo é descobrir se essa equação é linear ou não, e também determinar a ordem dela. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação diferencial linear e identificar qual é a maior derivada presente na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x) d^n ydx^n + an-1(x) d^n-1 ydx^n-1 + dots + a1(x) dydx + a0(x) y = g(x)
Aqui, as funções an(x), an-1(x), …, a0(x) podem depender de x, mas não de y ou de suas derivadas. Além disso, a equação não pode ter termos onde y ou suas derivadas estão multiplicados entre si ou elevados a alguma potência diferente de 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que a gente tem:
d^3 yd x^3 + x^3 y = sec (x)
Vamos ver se ela se encaixa na forma geral de uma equação diferencial linear.
  • O termo d^3 yd x^3 está acompanhado de um coeficiente a3(x) = 1, que depende apenas de x.
  • O termo x^3 y tem um coeficiente a0(x) = x^3, que também depende apenas de x.
  • O lado direito da equação, sec (x), é a função g(x).
Não tem termos como y^2, y dydx, ou qualquer outra combinação não linear. Tudo está na primeira potência e os coeficientes são funções de x apenas.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pelo maior grau da derivada presente na equação.
Na nossa equação:
d^3 yd x^3 + x^3 y = sec (x)
A derivada de maior ordem é d^3 ydx^3, que é uma derivada de terceira ordem. Portanto, a ordem da equação é 3.

Resposta

A equação diferencial d^3 yd x^3 + x^3 y = sec (x) é linear e de terceira ordem.

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