Classifique se as seguintes equações diferenciais são lineares ou não. Dê também a ordem da equação. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para analisar. O objetivo é descobrir se essa equação é linear ou não, e também determinar a ordem dela. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação diferencial linear e identificar qual é a maior derivada presente na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
Aqui, as funções
,
, …,
podem depender de
, mas não de
ou de suas derivadas. Além disso, a equação não pode ter termos onde
ou suas derivadas estão multiplicados entre si ou elevados a alguma potência diferente de 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação que a gente tem:
Vamos ver se ela se encaixa na forma geral de uma equação diferencial linear.
- O termo
está acompanhado de um coeficiente , que depende apenas de . - O termo
tem um coeficiente , que também depende apenas de . - O lado direito da equação,
, é a função .
Não tem termos como
,
, ou qualquer outra combinação não linear. Tudo está na primeira potência e os coeficientes são funções de
apenas.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pelo maior grau da derivada presente na equação.
Na nossa equação:
A derivada de maior ordem é
, que é uma derivada de terceira ordem. Portanto, a ordem da equação é 3.
Resposta
A equação diferencial
é linear e de terceira ordem.