Mostre que a curva com equaçōes paramétricas x=t^2, y=1-3 t, z=1+t^3 passa pelos pontos (1,4,0) e (9,-8,28), mas nāo passa pelo ponto ( 4,7,-6 ).
40-44 Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
– Verificar se a curva dada por
x = t^2, y = 1 - 3t, z = 1 + t^3
passa pelos pontos (1,4,0), (9,-8,28) e (4,7,-6).
– Determinar a função vetorial da curva de interseção de duas superfícies (que não foram fornecidas).
Para a primeira parte usaremos o método de testar valores de t que satisfaçam x e verificar se produzem os y e z correspondentes.

Passo 2

Testando o ponto (1,4,0):
De x = t^2 = 1 temos t = pm1.
– Se t = 1, então
y = 1 - 3cdot1 = -2neq4, z = 1 + 1^3 = 2neq0
– Se t = -1, então
y = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4, z = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0
Logo, com t=-1 obtemos exatamente (1,4,0). A curva passa por esse ponto.

Passo 3

Testando o ponto (9,-8,28):
De x = t^2 = 9 temos t = pm3.
– Se t = -3, então
y = 1 - 3(-3) = 1 + 9 = 10neq -8
– Se t = 3, então
y = 1 - 3cdot3 = 1 - 9 = -8, z = 1 + 3^3 = 1 + 27 = 28
Logo, com t=3 obtemos (9,-8,28). A curva passa por esse ponto.

Passo 4

Testando o ponto (4,7,-6):
De x = t^2 = 4 temos t = pm2.
– Se t = 2, então
y = 1 - 3cdot2 = 1 - 6 = -5neq7, z = 1 + 2^3 = 1 + 8 = 9neq -6
– Se t = -2, então
y = 1 - 3(-2) = 1 + 6 = 7, z = 1 + (-2)^3 = 1 - 8 = -7neq -6
Em nenhum caso obtemos (4,7,-6). A curva não passa por esse ponto.

Passo 5

Conclusão da primeira parte: a curva deparamétrica passa por (1,4,0) e (9,-8,28), mas não por (4,7,-6).

Passo 6

Para a segunda parte seria necessário conhecer as equações das duas superfícies cuja interseção define a curva pedida. Como essas superfícies não foram fornecidas, não é possível determinar a função vetorial de sua curva de interseção.

Resposta

A curva paramétrica passa pelos pontos (1,4,0) e (9,-8,28), mas não passa por (4,7,-6).
Não é possível determinar a curva de interseção das superfícies pois as superfícies não foram informadas.

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