Determinar o domínio da função y=f(x)
g(x)=log 0,1(x-12-x)

Passo 1

Beleza, o que temos aqui? A função é
g(x)=log0,1!l(x-12-xr)
O assunto é domínio de função logarítmica e inequação racional.
Pra resolver a gente vai precisar lembrar duas coisas:
  1. pra logb(A) com 0<bneq1, o argumento A precisa ser >0.
  2. em frações, o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro: base 0,1 tá entre 0 e 1, mas isso só afeta a concavidade da curva, não o domínio. O que importa é que dentro do log a gente precisa de
x-12-x>0
e ainda garantir que 2-xneq0 (ou seja, xneq2).

Passo 3

Vamos então resolver a inequação
x-12-x>0
Pontos críticos:
  • Numerador x-1=0 em x=1.
  • Denominador 2-x=0 em x=2.

Passo 4

Agora o estudo de sinais em cada intervalo:
  1. x<1: numerador (x-1)<0, denominador (2-x)>0 ⇒ fração <0.
  2. 1<x<2: numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
  3. x>2: numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0.
Só em 1<x<2 a fração fica positiva e o denominador não zera.

Resposta

O domínio de g é ,(1,2).

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