Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
\left(2 x y-\operatorname{sec} ^{2} x\right) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
(2xy - \operatorname{sec}^2 x)\,dx + (x^2 + 2y)\,dy = 0
nos tipos separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum dos anteriores (N). Para isso, vamos testar cada caso em sequência.

Passo 2

Teste de separabilidade: escrevendo como
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy - \operatorname{sec}^2 x}{\,x^2 + 2y\,},
vemos que o lado direito não se separa em X(x)\,Y(y), pois o numerador e o denominador misturam x e y. Logo, não é separável.

Passo 3

Teste de linearidade: uma equação em y é linear se puder ser posta na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui teríamos
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x\,y}{x^2+2y} + \frac{\operatorname{sec}^2 x}{x^2+2y},
e não é possível isolar \frac{dy}{dx} numa forma em que o coeficiente de y dependa só de x. Portanto, não é linear.

Passo 4

Teste de exatidão: definimos
M(x,y) = 2xy - \operatorname{sec}^2 x, \qquad N(x,y) = x^2 + 2y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 5

Já que falharam os testes de separabilidade e linearidade, e passou no teste de exatidão, concluímos que a equação é do tipo exata.

Resposta

E

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