Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
x^{3} y^{(4)}-x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo da equação diferencial
x^{3}y^{(4)} \;-\; x^{2}y'' \;+\; 4x\,y' \;-\; 3y \;=\; 0
e classificá-la como separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum desses (N). O conteúdo envolve reconhecimento de estruturas de equações diferenciais.

Passo 2

Verificamos se ela é separável. Uma equação é separável quando pode ser posta na forma
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y)
ou equivalente com maior ordem reduzida, o que não ocorre aqui, pois temos derivadas até quarta ordem misturadas com y e seus derivadas em soma linear.

Passo 3

Verificamos se ela é exata. A noção de exatidão aplica-se a equações de primeira ordem na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
o que não se aplica a esta equação de quarta ordem.

Passo 4

Verificamos se ela é linear. Uma equação diferencial de ordem n é linear se aparece na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = h(x).
Aqui temos
a_4(x)=x^3,\quad a_2(x)=-x^2,\quad a_1(x)=4x,\quad a_0(x)=-3,\quad h(x)=0,
todas funções de x multiplicando cada derivada de y, e o lado direito é 0. Logo, é uma equação linear homogênea de quarta ordem.

Resposta

L

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