Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolvido é análise de integrais impróprias, verificando se há singularidades no intervalo de integração.

Passo 2

Observamos que o integrando \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} apresenta singularidade quando 1 - x^{2}=0, isto é, em x=\pm1. Nosso intervalo de integração é \bigl[0,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr], e
\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}707<1,
portanto não atingimos o ponto x=1.

Passo 3

Como \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} é contínua em todo \bigl[0,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr], a integral é própria. Toda integral própria de função contínua em um intervalo fechado é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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